生成関数

1. 統計学
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生成関数を使って確率分布関数の各性質を導くことができます。

生成関数

まず定義です。$X$は確率変数を示します。

\[ G_X(t)=\sum_{k\in N} p_{k}t^k \]

微分をとって $t=1$ とおくと平均値が計算できます。 \[ \begin{align*} \frac{d}{dt} G_X(t)&=\sum_{k\in N} p_{k}\cdot kt^{k-1}\\ G_X(1)'&=\sum_{k\in N} p_{k}k\\ &=E[X] \end{align*} \]
これを微分します。 \[ \begin{align*} {G_X(t)}''=\sum_{k\in N} p_{k}k(k-1)t^{k-2}\\ \end{align*} \]
$t=1$ で階乗モーメント $E[X(X-1)]$ が計算できます。 \[ \begin{align*} {G_X(t)}''&=\sum_{k\in N} p_{k}k(k-1)\\ &=E[X(X-1)] \end{align*} \]
分散を計算してみましょう。 \[ Var(X)=E[X(X-1)]+E[X]-E^2[X]\\ \] 分散の公式から、次式が成り立ちます。 \[ Var(X)={G_X(1)}''+{G_X(1)}'-{{G_X(1)}'}^2 \]

ベルヌーイ分布

まずベルヌーイ分布で計算してみましょう。 \[ \begin{align*} G_X(t)&=\sum_{k\in N} p_{k}t^k\\ &=p\cdot t^1+(1-p)\cdot t^0\\ &=pt+1-p \end{align*} \] 分散を計算してみましょう。 \[ \begin{align*} &{G_X(t)}'=p\\ &{G_X(1)}'=E[X]=p\\ &{G_X(1)}''=E[X(X-1)]=0\\ \end{align*} \] これを分散の公式を使って計算します。 \[ Var[X]=0+p-p^2=p(1-p) \]

二項分布

\[ p(k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}\\ \] まず確率分布関数から生成関数を計算します。 \[ \begin{align*} G_X(t)&=\sum_{k\in N} \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}t^k\\ &=\sum_{k\in N} \binom{n}{k}(pt)^k (1-p)^{n-k}\\ &=(pt+1-p)^n\\ \end{align*} \] 分散を計算してみましょう。 \[ \begin{align*} &{G_X(t)}'=np(pt+1-p)^{n-1}\\ &{G_X(1)}'=E[X]=np\\ &{G_X(t)}''=np^2(n-1)(pt+1-p)^{n-2}\\ &{G_X(1)}''=E[X(X-1)]=np^2(n-1)\\ &Var(X)=np^2(n-1)+np-(np)^2=-np^2+np=np(1-p) \end{align*} \]

ポワソン分布

ポワソン分布の確率分布関数の定義です。 \[ p(\theta)=\frac{\theta^k}{k!}e^{-\theta}\\ \] まず生成関数を計算します。$t^k$をかけて足し合わせます。 \[ \begin{align*} &G_X(t)=\sum_{k\in N} \frac{\theta^k}{k!}e^{-\theta}t^k\\ &=\sum_{k\in N} \frac{(t\theta)^k}{k!}e^{-\theta}\\ &=e^{t\theta}e^{-\theta}\\ &=e^{\theta(t-1)}\\ \end{align*} \] 分散を計算してみましょう。 \[ \begin{align*} &{G_X(t)}'=\theta e^{\theta(t-1)}\\ &{G_X(1)}'=E[X]=\theta\\ &{G_X(t)}''=\theta^2 e^{\theta(t-1)}\\ &{G_X(1)}''=E[X(X-1)]=\theta^2\\ &Var(X)=\theta^2+\theta-\theta^2=\theta \end{align*} \]