コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式から以下の不等式を導くことができます。
\[
\mathbb{E}(XY)\leq \sqrt{\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2)}
\]
コーシー・シュワルツの不等式の証明を示します。
以下の方程式を考えます。
\[
\begin{align*}
&\sum_{i=1}^{n}(a_i x+b_i)^2 =\sum_{i=1}^{n}(a_i^2 x^2+2a_i b_i x+b_i^2)\\
&= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 x^2+2\sum_{i=1}^{n}a_i b_i x +\sum_{i=1}^{n} b_i^2
\end{align*}
\]
この値が常に正である条件は判定式Dが負である（\(D \leq 0\)）ので以下が成立します。
\[
\begin{align*}
D=(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2-(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)
\end{align*}
\]
よって
\begin{align*}
(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2-(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2) &\leq 0\\
\end{align*}
\begin{align*}
(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2 &\leq (\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)\\
\sum_{i=1}^{n}a_i b_i &\leq \sqrt{(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)}\\
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i b_i &\leq \sqrt{\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)}\\
\mathbb{E}(AB) &\leq \sqrt{\mathbb{E}(A^2)\mathbb{E}(B^2)}
\end{align*}