角運動量演算子

軌道角運動量演算子の公式です。ハットは演算子を表します。 \[ \begin{align} \mathbf{\hat L}&=[\hat L_x, \hat L_y, \hat L_z]\\ \hat L_x&=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y\\ \hat L_y&=\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z\\ \hat L_z&=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x\\ \hat L_\pm&=\hat L_x\pm i\hat L_y\\ \end{align} \] ここから導ける公式です。 \[ \begin{align} [\hat L_i, \hat L_j] &= i\hbar \epsilon_{ijk}\hat L_k\\ \mathbf{\hat L^2} &= \hat L_x\hat L_x+\hat L_y\hat L_y+ \hat L_z\hat L_z\\ [\mathbf{\hat L^2}, \hat L_j] &= 0\\ [\hat L_i, \hat L_j] &= i\hbar \epsilon_{ijk}\hat L_k\\ \end{align} \] 演算子は外積でもベクトルのような公式は成立しません。注意が必要です。