コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式から以下の不等式を導くことができます。 \[ \mathbb{E}(XY)\leq \sqrt{\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2)} \] コーシー・シュワルツの不等式の証明を示します。以下の方程式を考えます。 \[ \begin{align*} &\sum_{i=1}^{n}(a_i x+b_i)^2 =\sum_{i=1}^{n}(a_i^2 x^2+2a_i b_i x+b_i^2)\\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 x^2+2\sum_{i=1}^{n}a_i b_i x +\sum_{i=1}^{n} b_i^2 \end{align*} \] この値が常に正である条件は判定式Dが負である（$D \leq 0$）ので以下が成立します。 \[ \begin{align*} D=(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2-(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2) \end{align*} \] よって \begin{align*} (\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2-(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2) &\leq 0\\ \end{align*} \begin{align*} (\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)^2 &\leq (\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)\\ \sum_{i=1}^{n}a_i b_i &\leq \sqrt{(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)}\\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i b_i &\leq \sqrt{\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n} a_i^2)\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)}\\ \mathbb{E}(AB) &\leq \sqrt{\mathbb{E}(A^2)\mathbb{E}(B^2)} \end{align*}