パウリ行列

パウリ行列関連の公式集です。

まずは定義から。
\[ \begin{align} \boldsymbol{\sigma}&=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\\ \sigma_1 &= \left[\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]\\ \sigma_2 &= \left[\begin{array}{rr} 0 & -i\\ i & 0 \end{array}\right]\\ \sigma_3 &= \left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right]\\ \end{align} \] 単純計算で次が導けます。

\[ \begin{align} (\sigma_i)^2 &=1\\ [\sigma_i, \sigma_j]&=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k\\ \sigma_i\sigma_j&=\delta_{ij}\mathbb{1}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k\\ \{\sigma_i, \sigma_j\}&=2\delta_{ij}\mathbb{1}\\ \end{align} \] 状態ベクトルへ作用させると次が成立します。

\[ \begin{align} \sigma_1\ket{+}&=\ket{-}\\ \sigma_1\ket{-}&=\ket{+}\\ \sigma_2\ket{+}&=i\ket{-}\\ \sigma_2\ket{-}&=-i\ket{+}\\ \sigma_3\ket{+}&=\ket{+}\\ \sigma_3\ket{-}&=-\ket{-}\\ \end{align} \] \[ \begin{align} \hat S_x &= \frac{\hbar}{2} \sigma_1\\ \hat S_y &= \frac{\hbar}{2} \sigma_2\\ \hat S_z &= \frac{\hbar}{2} \sigma_3\\ \hat S_n&=\mathbf{n}\cdot S\\ &=n_1\hat S_1+n_2\hat S_2+n_3\hat S_3\\ &=\frac{\hbar}{2}\mathbf{n}\cdot \boldsymbol\sigma\\ \hat S_n &= \frac{\hbar}{2} \left[\begin{array}{rr} \cos(\theta) & \sin(\theta)e^{-i\phi}\\ \sin(\theta)e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{array}\right]\\ \end{align} \]