ド・モアーブルの定理

ド・モアーブルの定理の証明です。

帰納法で証明します。

まず $n-1$ で成り立つとすると$n$で成り立つことを証明します。

$n=1$ で成り立つことを示せば任意の$n$で成立することが証明できます。
(加法定理を使っています。証明はページ下をご覧ください。) \begin{align*} &(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)\\ =& \cos((n-1)+1)\theta+i\cdot\sin((n-1)+1)\theta\\ =& \cos(n-1)\theta\cos\theta-\sin(n-1)\theta\sin\theta\\ &+i\cdot\sin(n-1)\theta\cos\theta+i\cdot\cos(n-1)\theta\sin\theta\\ =&\cos(n\theta)+i\cdot\sin(n\theta) \end{align*}

加法定理

おなじみの加法定理の証明です。余弦定理を使っています。証明はページ下をご覧ください。 \begin{align*} a^2&=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\ &=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\sin^2\alpha+\sin^2\beta\\ &-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta\\ &=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \end{align*} 余弦定理から \begin{align*} 2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ =1+1-2\cdot 1\cdot 1\cos(\alpha-\beta) \end{align*} よって \begin{align*} \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align*}

余弦定理

余弦定理の証明です。 \begin{align*} a^2 &= (b\cdot\sin{A})^2+(c-b\cdot\cos{A})^2\\ &= b^2\cdot\sin^2{A}+c^2+b^2\cdot\cos^2{A}-2bc\cdot\cos{A}\\ &= b^2+c^2-2bc\cdot\cos{A} \end{align*} 加法定理はこの図のほうが分かりやすいかもしれません。