パスカルの三角形

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パスカルの三角形の証明です。パスカルの三角形って、\((a+b)^n\) など展開するとき使うやつですね。 それぞれの項の係数がパスカルの三角形です。

\begin{align} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\&=a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=(a+b)(a+b)(a+b)\\&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a+b)^4&=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\\&=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ \end{align}
ここで係数は\(n\) ある項から \(k\) を選び出す組み合わせの合計なわけですね。

パスカルの三角形がこれを表しているっていう話です。上の段の隣り合う合計が次の組み合わせの数です。

\[ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} \]
以下、証明です。

\begin{align} &\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\hspace{3cm}\\ &=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}\\ &=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!}\left(\frac{1}{n-k}+\frac{1}{k}\right) \\ &=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!}\left(\frac{k+n-k}{k(n-k)}\right) \\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &=\binom{n}{k} \end{align}