ガンマ関数

1. 解析学
2. ガンマ関数

ガンマ関数の定義と、部分積分法によって得られる結果を示します。


まずガンマ関数の定義です。
\[ \boxed{ \ \Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}\cdot e^{-t}dt\ } \]
\(x=1\) であれば \(1\) をとります。 \[ \Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt=\left[-e^{-t}\right]_0^\infty=1\\ \] 部分積分の公式を積の微分から導出します。 \[ \begin{align} \left( f(x)\cdot g(x)\right)' &=f(x)'\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)'\\ f(x)'\cdot g(x)&=(f(x)\cdot g(x))'-f(x)\cdot g(x)'\\ \end{align} \] ここで \(h(x)=f(x)'\) とおきます。 \[ \begin{align} h(x)\cdot g(x)&=(H(x)\cdot g(x))'-H(x)\cdot g(x)'\\ \int h(x)\cdot g(x)dx&=g(x)\cdot H(x)-\int g(x)'\cdot H(x)\\ \end{align} \] さっそく解いてみましょう。 \[ \begin{align} \Gamma(x)&=\left[t^{x-1}\cdot (-e^{-t})\right]_0^\infty-\int_0^\infty(x-1)\cdot t^{(x-2)}\cdot (-e^{-t})dt \\ &=(x-1)\cdot \Gamma(x-1)\\ &=(x-1)!\\ \end{align} \] もとのガンマ関数の定義が出てきました。

すべて計算すれば階乗です。なんかエレガントですね。