リプシッツ連続

連続な関数の定義は \(x\) で距離を詰めれば \(f(x)\) で近づく、というものです。
\[ \lim\limits_{x \to x_0}=f(x_0) \]
一様連続はもっと厳しい条件で、近づきかたが \(x\) 独立で、どこでも成立する必要があります。

形式的な表現でいくと、

任意の正の数 \(\exists \epsilon >0\) を考えたとき \( |x-x_0|<\delta \) を満たすような正の数 \(\exists \delta >0 \) が存在して \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\) が成り立つ。

です。

より厳しい連続の条件もあります。リプシッツ連続 (Lipschitz continuity) というのがあって、上限が \(x\) の距離の定数倍以下で縮まる条件が付きます。

形式的な表現でいくと、

非負の数 \(\exists K \geq 0 \) が存在して
\[ |f(x)-f(x_0)| < K|x-x_0| \] が成り立つ。

のがリプシッツ連続の条件です。

リプシッツは形容詞なんですね。固有名詞が一般形容詞化し使われているわけですね。「この関数は変数 x でリプシッツである」のような使われ方をします。