カルダノの方程式

方程式 \[\begin{align*} x^3=px+q \end{align*}\] の解は方程式 \[\begin{align*} x=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} +\frac{q}{2}} - \sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} -\frac{q}{2}} \end{align*}\] 表されることを示せ。という問題があったとします。

これはうまく計算してやると \[\begin{align*} a=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} +\frac{q}{2}}\\ b=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} -\frac{q}{2}} \end{align*}\] とおくと \[\begin{align*} a^3-b^3 &=q\\ -3ab &=-3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} +\frac{q}{2})(\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}} -\frac{q}{2})}\\ &=-3\sqrt{-\frac{p^3}{27}}\\ &=p \end{align*}\] \[\begin{align*} x^3=(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b) \end{align*}\] であるから \[\begin{align*} x^3=px+q \end{align*}\] が成り立つことが示せます。