ベータ関数

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ベータ関数の定義です。 \[ \boxed{ B(x,y)= \int_0^1 t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}dt } \]
\(x,y\) が整数であるとき次の公式が成り立ちます。 \[ \begin{align} B(x,y)&= \int_0^1 t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}dt\\ &=\frac{x-1}{y}\int_0^1 t^{x-2}\cdot (1-t)^{y}dt\\ &=\frac{(x-1)(x-2)}{y(y+1)}\int_0^1 t^{x-3}\cdot (1-t)^{y+1}dt\\ &=\frac{(x-1)!}{y(y+1)\cdots(x+y-2)}\int_0^1 (1-t)^{x+y-2}dt\\ &=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\left[ -(1-t)^{x+y-1}\right]^1_0\\ &=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!} \end{align} \] ここでベータ分布を考えます。ベータ分布の確率密度関数の定義です。

これだけだとイメージがわかないかと思いますので、こちらの Python を使ったベータ関数のグラフ をご覧ください。x, y の値を変えたときのグラフの形の変化が分かりやすいかと思います。
\[ f(t)=\frac{t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}}{\int_0^1 t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}dt} \] 公式を使うと平均が計算できます。 \[ \begin{align} E[X]&=\int_0^1 tf(t)dt\\ &=\frac{t^{x}\cdot (1-t)^{y-1}}{\int_0^1 t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}dt}\\ &= \frac{x!(y-1)!}{(x+y)!}\cdot \frac{(x+y-1)!}{(x-1)!(y-1)!}\\ &=\frac{x}{x+y} \end{align} \]
\(t=\sin^2\theta\)とおいて計算します。 \begin{align} B(x,y)&=2\cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2x-1}\theta\cdot\cos^{2y-1}\theta d\theta\\ &=\frac{\Gamma(x)\cdot\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\ B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})&=\pi\\ \Gamma(\frac{1}{2})&=\sqrt{\pi}\\ \end{align}