代数学・用語集

位相: 位相の概念は２０世紀初頭に作られたもので、距離空間などの概念を一般化したもの、距離空間とは、通常の概念で言うユークリッド空間の距離を一般化したもの。
バナッハ空間: バナッハ空間とは完備なノルム空間、ヒルベルト空間とは内積の定義できる完備距離空間をいう。ここで、完備性とはコーシー列が極限を持つことをいう。コーシー列とは \( lim|a_n-a_{n-1}|=0 \) である数列をいう。
コンパクト: コンパクトとは、被覆コンパクトのことをいい、点列コンパクトなどの概念と区別するために使われる。
離散空間: 離散空間とは、位相にすべての部分集合の集合をとるものをいい、密着空間とは、空集合と集合自身の集合をとるものをいう。
連続: 連続とは、ごく小さな関数値の近傍の変数の値が、すべてある範囲に納まることをいう。変数のとりうる範囲が、関数値によらない場合、一様連続という。\( f(x)=\frac{1}{x} \)などの関数を考えると分かりやすい。\(f(x)\)の近傍を考えた場合、同じ距離の近傍で \(x\) のとれる範囲は \(x\) の値に依存する。コンパクト集合上で連続な関数は、一様連続である。

\( y=\frac{1}{x}, [1,20]\)

\( y=\frac{1}{x}, [1,2]\)

\( y=\frac{1}{x}, [19,20]\)
双曲線関数: 双曲線関数の定義は、\(sinh=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, cosh=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \)。
\(y=cosh(x)\)

\(y=sinh(x)\)

\(y=cosh(x) ,sinh(x)\)
テンソル: テンソルとは多次元の配列をいい、行列なら階数２（２次元）、ベクトルであれば階数１、スカラー値であれば階数０となる。